算筹

它最早出现在何时已经不可查考了，但至迟到春秋战国算筹的使用已经非常普遍了。

根据史书的记载和考古材料的发现，古代的算筹是一根根同样长短和粗细的小棍子，一般长为13--350px，径粗0．2～0．75px，多用竹子制成，也有用木头、兽骨、象牙、金属等材料制成的，大约二百七十几枚为一束，放在一个布袋里，系在腰部随身携带。需要记数和计算的时候，就把它们取出来，放在桌上、炕上或地上都能摆弄。

按照中国古代的筹算规则，算筹记数的表示方法为：个位用纵式，十位用横式，百位再用纵式，千位再用横式，万位再用纵式等等这样从右到左，纵横相间，以此类推，就可以用算筹表示出任意大的自然数了。由于它位与位之间的纵横变换，且每一位都有固定的摆法，所以既不会混淆，也不会错位。

毫无疑问，这样一种算筹记数法和现代通行的十进位制记数法是完全一致的。

算筹用起来总归是不太直观方便，为了提高运算效率，就出现了算表

竹书算表

《算表》发现于清华简（藏于清华大学的战国竹简），距今已有2300年的历史。

《算表》可利用乘法交换律原理，快速计算100以内两个任意整数的乘积及包含特殊分数“半”的两位数乘法，可做开方，可计算100内任意两整数乘除，比此前发现形成于公元前200多年的里耶秦简九九表还要早，计算功能超过了以往中国发现的“里耶秦简九九表”和“张家界汉简九九表”等古代乘法表。

《算表》呈表格形态，核心部分是由“九”至“一”及其乘积“八十一”至“一”构成的九九乘法表，扩展部分一端为“半”与“半”的乘积“锱”（四分之一）；另一端为被乘数及乘数分别扩大至十倍，也就是最大为“九十”与“九十”的乘积“八千一百”。可以通过丝线交叉、运用交换律将两位数乘法转换为四个交叉点数字相加，实现快捷运算。

算盘

关于算盘的来历，一说最早可以追溯到汉末三分时期，为关羽所发明。

武财神关公像，右脚踩着算盘

据说我国当时就有了"算板"。古人把10个算珠串成一组，一组组排列好，放入框内，然后迅速拨动算珠进行计算。也有观点认为珠算盘起源于北宋时代的串档算珠。

算盘究竟是何人发明的，无法考察。但是它的使用应该是很早的。东汉末年，数学家徐岳《数术纪遗》载：“珠算控带四时，经纬三才。”北周甄鸾注云：“刻板为三分，位各五珠，上一珠与下四珠色别，其上别色之珠当五，其下四珠各当一。”汉代即有算盘，但形制与现今不同 。不过，中梁以上一珠当五，中梁以下各珠当一，则与现代相同，又据徐岳说，他的老师刘洪曾问学于道家天目先生，天目先生解释了14种计算方法，其中一种就是珠算，可见至迟在东汉已经出现算盘。

异型算盘之一：文王桃木算盘

有些历史学家认为，算盘的名称，最早出现于元代学者刘因（1249——1293年）撰写的《静修先生文集》里。在《元曲选》无名氏《庞居士误放来生债》里也提到算盘。剧中有这样一句话：“闲着手，去那算盘里拨了我的岁数。”公元1 274年，杨辉在《乘除通变算宝》里，1299年朱世杰在《算学启蒙》里都记载了有关算盘的《九归除法》。公元1450年，吴敬在《九章详注比类算法大全》里，对算盘的用法记述较为详细，张择瑞在《清明上河图》中画有一算盘，可见，早在北宋或北宋以前我国就已普遍使用算盘这一计算工具了。

算盘至今还在广泛使用，老会计们双手打算盘非常赏心悦目。作为当年的土计算机，中国人用算盘打出原子弹的故事总是会让我热血沸腾。

十二平均律

钢琴、小提琴、小号、萨克斯这些西洋乐器都是按照十二平均律制作的，十二平均律就是将一个八度平均分成十二等分，是中国人朱载堉率先研究出来的。

声音是由物体振动产生的，不同的振动频率会产生不同的音高，那怎样的振动频比可以将一个八度平均分成十二等分呢？明代郑王世子朱载堉七次上疏主动让出本该世袭的爵位，在宫外修建了一处小土屋闭关19年，潜心研究学问，他用横跨81档的双排特大算盘进行开方计算，求出了十二平均律的参数，将数值精确到小数点后25位数，使得每两个相邻的音之音振动频率的增幅或减幅相等，并据此制作出了弦准和律管。

81档大算盘，可以想象需要用这个运算的数据有多么复杂

具体说来就是：用发音体的长度计算音高，假定黄钟正律为1尺，求出低八度的音高弦长为2尺，然后将2开12次方得频率公比数1.059463094，该公比自乘12次即得十二律中各律音高，且黄钟正好还原。用这种方法第一次解决了十二律自由旋宫转调的千古难题。

之后十二平均律被传教士随丝绸之路传到了西方，在半个多世纪后逐在欧洲发扬光大，对世界音乐的发展产生了重要影响，“王子载堉”也一时间享誉欧洲。

随着对数学理解的逐步加深和运算能力的提升，让人们规范度量衡成为可能，商鞅方升就是其中的代表

商鞅方升

战国商鞅方升，又称商鞅量，全长18.7厘米，升纵7厘米，横12.5厘米，深2.3厘米，容积202.15立方厘米，重0.69千克，为长方形的有柄量器，器壁三面及底部均刻铭文。

左壁刻：“十八年，齐率卿大夫众来聘，冬十二月乙酉，大良造鞅，爰积十六尊（寸）五分尊（寸）壹为升”。器壁与柄相对一面刻“重泉”二字。底部刻秦始皇二十六年诏书：“廿六年，皇帝尽并兼天下诸侯，黔首大安，立号为皇帝，乃诏丞相状、绾，法度量则不壹歉疑者，皆明壹之”。右壁刻“临”字。

有了规范的尺度，就能定义规范的体积和重量，也就能逐步开始规范农业、手工业生产等领域的生产流程以提高效率，根据对出土文物的研究，秦国弩箭的扳机和箭矢已经能使用类似当代工业标准化生产的方式来制造，秦国能统一天下想必也从其中受益不少

新莽青铜卡尺

青铜卡尺，是于汉代王莽时期的一种工具，固定尺通长13.3厘米，固定卡爪长5.2厘米、宽0.9厘米、厚0.5厘米。

对尺度标准的进一步精细化要求，也使手工业生产的精度更上一层楼，让齿轮组合、传动装置的产生成为可能

指南车

指南车，又称司南车，是中国古代用来指示方向的一种装置。

它与指南针利用地磁效应不同，它不用磁性，而是利用齿轮传动来指明方向的一种简单机械装置。其原理是，靠人力来带动两轮的指南车行走，从而带动车内的木制齿轮转动，来传递转向时两个车轮的差动，再来带动车上的指向木人与车转向的方向相反角度相同，使车上的木人指示方向，不论车子转向何方，木人的手始终指向指南车出发时设置木人指示的方向，“车虽回运而手常指南”。

关于指南车的出现时间说法很多，但从现有资料判断，知指南车的内部结构有两种可能性：利用齿轮系统之定向性或磁铁的指极性。若以考古资料为据可知，中国齿轮出现的时间，在战国到西汉之间。《宋史》记载了宋代两种指南车的具体结构，可知宋代的指南车肯定是齿轮传动系统，依靠机械传动系统的定向性。则此种指南车出现时间不可能早在齿轮之前。

不过其后又有历史典籍显示三国时马钧是第一个成功地制造指南车的人。无论如何，指南车的自动离合装置都显示了古代机械技术的卓越成就。

记里鼓车

记里鼓车，又称记里车、大章车，中国古代用来记录车辆行过距离的马车，构造与指南车相似，车有上下两层，每层各有木制机械人，手执木槌，下层木人打鼓，车每行一里路，敲鼓一下，上层机械人敲打铃铛，车每行十里，敲打铃铛一次。

汉高祖刘邦的四弟楚王刘交的后裔——刘歆撰写的《西京杂记》记载：“汉朝舆驾祠甘泉汾阴，备千乘万骑，太仆执辔，大将军陪乘，名为大驾。司马车驾四，中道。辟恶车驾四，中道。记道车驾四，中道。”由此可见，最迟在西汉时期，记里鼓车就出现了。

《宋史》记载内侍卢道隆所奏的记里鼓车构造：记里鼓车有一辕、双轮，车身份上下两层，每一层都有一个手持木槌的木头人。左右 两个着地车轮，称为足轮，直径各6尺，周长18尺（按圆周率3计算）。按古代标准，一步等于6尺，足轮转一周等于车行3步，一里合300步，即300x6=1800尺，足轮转移100周合一里。按宋制，一步较小，等于5尺，一里合360步，仍是1800尺，轮转100次合一里。

记里鼓车是古代天子出巡时，仪仗车驾必备的一种典礼车，用四匹马拉，排在指南车之后。南朝宋的记里鼓车制度依旧。南齐循宋制，但记里鼓车的车顶加华盖，车身加漆画装饰，南梁依照齐制，但因佛教大盛，改用牛拉记里鼓车。唐朝恢复旧制，用四匹马拉记里鼓车，仍排在指南车后。宋朝雍熙四年，将随驾记里鼓车的仪仗队，从13人增加到了30人。

数学在古代除了应用于生产，更重要的是用于天文、历法领域，除了大家熟知的日晷、浑天仪、滴水/沙漏计时器外，还制作出了这样的工具

圭表

圭表是古代汉族科学家发明的度量日影长度的一种天文仪器，由“圭”和“表”两个部件组成。

圭表直立于平地上测日影的标杆和石柱，叫做表；正南正北方向平放的测定表影长度的刻板，叫做圭。当太阳照着表的时候，圭上出现了表的影子，根据影子的方向和长度，就能读出时间。据说，日晷还是在它的基础上发展起来的。

早在公元前20世纪，陶寺遗址时期中国就开始使用圭表了，用于测定正午的日影长度以定节令，定回归年或阳历年。通过进一步研究计算，古代汉族学者还掌握了二十四节气的圭表日影长度。这样，圭表不仅可以用来制定节令，而且还可以用来在历书中排出未来的阳历年以及二十四个节令的日期，作为指导汉族劳动人民农事活动的重要依据。

登封观星台，整个就是放大版的圭表

结合数学知识、精密仪器加工能力和天文知识的共同进步，我们聪明伟大的祖先终于造出了这样一个惊世骇俗，完全超乎于当时科技水平维度之外，直至今日也令人叹为观止的怪物仪器

以下很长，请耐心看完

水运仪象台

水运仪象台是北宋时期苏颂、韩公廉等人发明制造的以漏刻水力驱动的，集天文观测、天文演示和报时系统为一体的大型自动化天文仪器，宋元祐元年(公元1086年)开始设计，到元祐七年全部完成。

为了使整套机构的运行符合天象的均匀、等速并正确计时，发明者在滴漏技术的基础上创制了能符合高精度要求的擒纵机构，开启了近代钟表擒纵器的先河。因为14世纪出现机械钟表以来，虽然它们的动力来源可能不同，如重力、金属弹力(发条)等，但是擒纵结构原理却是一致的，因此，“水运仪象台”在钟表历史占有极其重要的地位。早在20世纪90年代初，我的恩师、著名的国际钟表大师矫大羽就向全世界首倡提出：“中国人开创了钟表史——是中国古代五大发明之一”，并不遗余力的在欧美各国、日本、中国大陆、台湾及香港等地区演讲、宣传，已得到国际科技界和钟表界的普遍认同，影响极为深远。

擒纵器示意图

根据《新仪象法要》记载，水运仪象台是一座底为正方形、下宽上窄略有收分的木结构建筑，高大约有十二米，底宽大约有七米，共分为三大层。

后人复原的水运仪象台

上层是一个露天的平台，设有浑仪一座，用龙柱支持，下面有水槽以定水平。浑仪上面覆盖有遮蔽日晒雨淋的木板屋顶，为了便于观测，屋顶可以随意开闭，构思比较巧妙。露台到仪象台的台基有七米多高。

中层是一间没有窗户的“密室”，里面放置浑象。天球的一半隐没在“地平”之下，另一半露在“地平”的上面，靠机轮带动旋转，一昼夜转动一圈，真实地再现了星辰的起落等天象的变化。

下层包括报时装置和全台的动力机构等。设有向南打开的大门，门里装置有五层木阁，木阁后面是机械传动系统。

报时装置

第一层木阁又名“正衙钟鼓楼”，负责全台的标准报时。木阁设有三个小门。到了每个时辰（古代一天分做十二个时辰，一个时辰又分为时初和时正）的开始时，就有一个穿红衣服的木人在左门里摇铃；到了每个时辰的正中，有一个穿紫色衣服的木人在右门里扣钟；每过一刻钟，一个穿绿衣的木人在中门击鼓。这层木人动作由昼时钟鼓轮控制。

第二层木阁负责报告时初、时正。该层木阁正中有一个小门，每逢各个时辰的开始时，一个穿红衣的木人持时辰牌出现在小门前；每逢各个时辰的正中，一个穿紫衣的木人拿着时辰牌出现在小门前。此层共有红衣木人和紫衣木人各12个，时辰牌牌面上依次写着子初、子正、丑初、丑正等。这层木人的动作由昼夜时初正轮控制。

第三层木阁负责报告时刻。该层木阁正中有一个小门，每到一刻，一个穿绿衣的木人持刻数牌出现在小门前。此层共有96个绿衣木人，刻数牌牌面上依次写着初刻、二刻、三刻、四刻等。这层木人的动作由报刻司辰轮控制。注：正子时、正卯时、正午时、正酉时，时兼刻，紫衣小人出场。因此只有96个绿衣小木人。

第四层木阁负责晚上的报时。该层木阁中间有一个小门，木门内置一小木人，逢日落、黄昏、各更、破晓、日出之时，木人击钲报时。这层木人的动作由夜漏金钲轮控制。

第五层木阁负责报告晚上的时间。这层木阁中间有一个小门，日出、日落、昏、晓、各更，一个穿红衣的木人持牌出现在小门前；各筹（点），一个穿绿衣的木人持牌出现在小门前。这层木人的动作由夜漏司辰轮控制。起更(16:48)、日落、昏、一至五更、日出、晓、收更(7:12)共11个红衣小木人。每更五筹，共30个绿衣小木人。注：冬至夜六十刻、夏至四十刻，冬至-夏至，每九天增加一刻，即日出/日落小木人每九天，从起更向一更移动半刻；昏/晓为日出/日落下两刻半，即昏晓间，冬至五十五刻、夏至三十五刻，昏/晓小木人随日出/日落小木人每九天向下移动半刻。

五层木阁共有12个紫衣小木人、23个红衣小木人、126个绿衣小木人、1个击钲小木人，累计162个小木人。

每层木阁内都有相应的机轮或轮辋，上挂抱牌木人；或用拨牙拨动门口木人手臂敲打乐器。这些机轮都装在一根机轮轴上。机轮轴有传动机构和天柱相连。天柱是贯通全台上中下三隔的传动轴。天柱下有个下轮，与枢轮轴伸出的地毂相结合。当作为原动轮的枢轮转动时就经过地毂传动，使天柱旋转起来，由此带动全仪。

动力机构

在下隔的中央部分设有一个直径达 3米多的枢轮。枢轮上有72条木辐，挟持着36个水斗和勾状铁拨子。枢轮顶部和边上附设一组杠杆装置，它们相当于钟表中的擒纵器。在枢轮东面装有一组两级漏壶。壶水注入水斗，斗满时，枢轮即往下转动。但因擒纵器的控制，使它只能转过一个斗。这样就把变速运动变为等间歇运动，使整个仪器运转均匀。枢轮下有退水壶。在枢轮转动中各斗的水又陆续回到退水壶里。另用一套打水装置，由打水人搬转水车，把水打回到上面的一个受水槽中，再由槽中流入下面的漏壶中去。因此，水可以循环使用。打水装置和打水人则安置在下隔的北部。整个机械轮系的运转依靠水的恒定流量，推动水轮做间歇运动，带动仪器转动，因而命名为“水运仪象台”。

浑象密室

浑象一半装在地柜里面，一半露出柜面。浑象中间的赤道带上装有齿牙。机轮轴的天轮和它相接，以带动浑象和天穹一起旋转。

浑仪板屋

浑仪结构和唐、宋浑仪类似，只是在中间一重三辰仪里加一个在赤道方向的天运环，环有齿牙，和天柱的上轮相接，由天柱通过天运环带动三辰仪一起转动。这是后世转仪钟的一个雏形。浑仪置于板屋内，屋顶板可自由摘除，是近代望远镜室活动屋顶的先驱。

水运仪象台标志着中国古代天文仪器制造史上的高峰，被誉为是世界上的最早的天文钟。英国科学家李约瑟等人认为水运仪象台“可能是欧洲中世纪天文钟的直接祖先”。

（转自AcFun 逗比师太）